"Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie" de Riemann Commentaire de Texte by acoulot

"Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie" de Riemann
Commentaire du texte "Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie" qui traite de l'apparition d'une géométrie nouvelle proposée par Riemann, géométrie non euclidienne à plusieurs dimensions.
№ 29591 | 2,040 mots | 0 sources | 2013 | FR
Publié le avr. 21, 2013 in Mathématiques , Philosophie
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Résumé:

Ce texte consiste dans le plan de l'étude énoncé par Riemann, extrait de son court texte "Sur les hypothèses qui servent de fondements à la géométrie", inséré au sein du tome XIII des "Mémoires de la société Royale des sciences de Göttingen". Il se veut avant tout descriptif et introducteur aux propos que Riemann va tenir plus bas dans son œuvre. Ce plan d'étude traite alors de l'apparition dans le domaine de la géométrie, d'une géométrie nouvelle proposée par Riemann: la géométrie elliptique. Certes, d'autres auteurs avant lui sont parvenus à ébranler la géométrie d'Euclide, en montrant que d'autres systèmes étaient aux mêmes titres envisageables et avaient une cohérence logique, il est question pour cela des géométries non euclidiennes (Gauss, Bolyai, Lobatchevski, etc) mais Riemann semble ici dépasser les systèmes de ces auteurs.

1. Les travaux de Gauss qui constituent son point de départ
2. Riemann nous expose sa démarche envers la géométrie qui dépasse les travaux antérieurs

Extrait du document:

Si jusque là, son propos n'a rien d'original, ne faisant que rappeler les considérations générales, la suite de son discours a tout lieu de nous étonner dans la mesure où il met en avant l'insuffisance de la démarche en géométrie. En effet, il ajoute que si ces concepts sont bien définis, ce n'est que dans la limite de leur nom, et que tout ce qui est essentiel ne se développe qu'au moyen des axiomes. Ainsi, ces concepts ne seraient pas suffisamment exploités dans la mesure où on se contenterait seulement de les nommer, et non de les interroger jusque dans leur essence. De plus, ils reposeraient sur des évidences qui ne nécessitent aucune démonstration, des axiomes. En ce sens, il semble que Riemann dénonce ici un manque de rigueur, ou du moins de précision et d'approfondissement dans les considérations de la géométrie de son temps.

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